Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.

Лекция 2. Поле комплексных чисел.

Глава 2. Поле комплексных чисел.

п.1. Построение поля комплексных чисел.

Пусть – декартов квадрат поля действительных чисел, т.е.
– множество упорядоченных пар действительных чисел. Определим на этом множестве две внутренние бинарные алгебраические операции – сложение и умножение по следующим правилам:
положим по определению

(1)

(2)
.

Очевидно, что сумма и произведение двух пар из
снова есть пара из множества
, т.к. сумма, произведение и разность действительных чисел есть действительные числа. Таким образом,
– алгебраическая структура с двумя внутренними бинарными алгебраическими операциями.

Теорема.
– поле.

Доказательство. Последовательно проверяем выполнение всех девяти аксиом поля.

1. Закон ассоциативности относительно сложения:

.

Пусть . Тогда по определению сложения пар
и .

С другой стороны,
и .

Так как R поле, то сложение действительных чисел подчиняется закону ассоциативности и поэтому и . Отсюда следует равенство пар , а отсюда следует, в свою очередь, равенство , ч.т.д.

2. Существование нулевого элемента:

.

Обозначим
, где 0 – нулевой элемент поля действительных чисел, т.е. число нуль. Пусть
– произвольная пара из
. Тогда по определению сложения пар и . Следовательно,
и пара
есть нулевой элемент относительно операции сложения, существование которого и требовалось доказать.

3. Существование противоположного элемента:

.

Пусть
– произвольная пара из
.

Покажем, что противоположным элементом является пара

. Действительно, по определению

сложения пар имеем:

И . Отсюда следует равенство , ч.т.д.

4. Закон коммутативности относительно сложения:

.

Пусть
– две произвольные пары. Тогда по определению сложения пар имеем:

И . Так как R – поле, то в нем выполняется закон коммутативности сложения и
,
, откуда следует равенство пар: и
, ч.т.д.

5. Закон ассоциативности относительно умножения:

.

Пусть . Тогда по определению умножения пар

,
и

В результате получились равные пары. Следовательно,
, ч.т.д.

6. Существование единичного элемента:

.

Положим по определению
и покажем, что – единичный элемент относительно умножения. Пусть
. Тогда по определению умножения пар , . Таким образом,
, ч.т.д.

7. Существование обратного элемента:

.

Пусть
и
, т.е. числа а и b одновременно не равны нулю, а значит
. Положим по определению
и покажем, что этот элемент удовлетворяет равенству
. Действительно, по определению умножения пар

,

Таким образом, мы проверили выполнение равенства
, ч.т.д.

8. Закон коммутативности относительно умножения:

.

Пусть
– две произвольные пары. Тогда по определению умножения пар

Так как R – поле, то умножение и сложение действительных чисел подчиняется закону коммутативности и

,
, откуда и следует равенство
, ч.т.д.

9. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

и
.

Пусть . Тогда по определению сложения и умножения пар

,

Здесь мы воспользовались законом дистрибутивности умножения относительно сложения, которому подчиняются действительные числа. Аналогично,

,
и

Отсюда мы видим, что
.

Для доказательства второго закона дистрибутивности воспользуемся только что доказанным законом дистрибутивности и законом коммутативности относительно умножения, который мы тоже уже доказали:

Теорема доказана.

Определение. Поле
называется полем комплексных чисел, а его элементы – упорядоченные пары действительных чисел, называются комплексными числами.

п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Обозначим через
– подмножество поля
, состоящее из тех пар действительных чисел, второй элемент которых равен нулю. Пусть
. Тогда по правилам сложения и умножения пар
,
. Это дает нам возможность отождествить такие пары с их первым элементом, а само множество с множеством R.

Положим по определению
. Отсюда, в частности,
,
.

Для пары
введем специальное обозначение. Положим по определению
. Тогда

(3)
.

Такую форму записи комплексного числа называют алгебраической.

Само поле комплексных чисел обозначают буквой С.

.

Заметим, далее, что . Это означает, что комплексное число
является корнем квадратного уравнения
. Легко видеть, что вторым корнем этого уравнения является комплексное число
. Действительно, .

Таким образом, можно дать следующее определение комплексных чисел.

Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел
, которая обычно записывается в виде
, где элемент i является корнем квадратного уравнения
, т.е.
.

Определение. Пусть
– алгебраическая форма записи комплексного числа. Элемент i называется мнимой единицей. Действительное число а называется вещественной частью комплексного числа z и обозначается
. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается
.

Определение. Комплексное число, вещественная часть которого равна нулю, называется чисто мнимым.

Из определения алгебраической формы записи комплексного числа (см. равенство (3)) сразу же вытекает условие равенства двух комплексных чисел:

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части, т.е.

.

Здесь & – знак конъюнкции, логическая связка "и".

Замечание. Из определений вытекает, что
, т.е. любое действительное число есть комплексное число с нулевой мнимой частью. Любое комплексное число можно рассматривать как результат сложения двух комплексных чисел, одно из которых является действительным числом (его мнимая часть равна нулю), другое – чисто мнимое:

п.3. Действия с комплексными числами в алгебраической форме записи.

Из определения сложения пар (1) и алгебраической формы записи комплексного числа (3) следуют правила сложения и умножения комплексных чисел в алгебраической форме записи. Пусть
,
– произвольные комплексные числа. Тогда

Заметим, что этот же результат можно получить пользуясь доказанной теоремой. Множество комплексных чисел образует поле. В поле справедливы законы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Рассматриваем каждое комплексное число как в замечании в конце п.2. – как результат сложения двух комплексных чисел. Тогда

Здесь мы воспользовались равенством
.

Таким образом, нет нужды запоминать правила сложения (4) и особенно умножения (5). Далее, понятно, что
– нулевой элемент, – противоположный.

Определяем операцию вычитания, как сложение с противоположным:

Примеры. 1).,
, ,

2). Решить уравнение в поле комплексных чисел:

.

Решение. Находим дискриминант
. По формуле корней квадратного уравнения находим корни:

. Ответ:
.

Замечание. Здесь мы использовали равенство
, откуда
.

Определим операцию деления в любом поле К как умножение на обратный элемент:
положим по определению
и

.

Легко проверить, что
,

Действительно,

Однако, нет необходимости запоминать формулу (6). Лучше использовать одно простое правило. Но для этого введем сначала одно понятие.

Определение. Комплексное число
называется комплексно сопряженным комплексному числу
.

Из определения сразу же следует, что число
является комплексно сопряженным числу
, т.е. такие числа, которые отличаются друг от друга лишь знаком мнимой части являются комплексно сопряженными друг другу.

Пример:
и
, i и – i,
и т.п.

Правило деления комплексных чисел.

Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число комплексно сопряженное знаменателю.

.

Примеры. ,

,
,
.

Замечание. Если
, то комплексно сопряженное к нему число обозначается
.

п.4. Свойства комплексно сопряженных чисел.

1.

.

2.

.

3.
.

4.

.

5.

6.

.

7.

.

8.

9. Для любого многочлена
с действительными коэффициентами от комплексной переменной z

.

Доказательство. 1) Пусть
– произвольное комплексное число. Тогда по определению комплексно сопряженного числа
и , ч.т.д.

2) Пусть . Тогда и
. С другой стороны,
и
, откуда и следует, что
.

3) Докажем с помощью метода математической индукции, что равенство верно для любого числа слагаемых n.

а) База индукции.

При
,
равенство
только что доказано.

б) Индукционная гипотеза.

Предположим, что утверждение верно, если число слагаемых равно
:.

в) Индукционный переход.

Так как утверждение верно для двух слагаемых, то

Откуда и следует доказываемое равенство.

4) Пусть . Тогда и
. С другой стороны, , откуда и следует, что
.

5) Доказывается аналогично пункту 3) методом математической индукции.

6) Пусть
и k – произвольное натуральное число. Тогда по определению натуральной степени числа
, ч.т.д.

7) Пусть а – действительное число. Тогда
и по определению комплексно сопряженного числа
, ч.т.д.

8) Пусть
. По уже доказанным в пунктах 4) и 7) свойствах
, ч.т.д.

9) Пусть z – комплексная переменная и
– многочлен от комплексной переменной z с действительными коэффициентами:, где

– действительные числа. Тогда, используя уже доказанные свойства, получаем:

Теорема доказана.

Пример. Вычислить
.

Решение. Обозначим
. Тогда
,
,
. Отсюда, .

п.5. Понятие корня натуральной степени из комплексного числа.

Определение. Пусть
– произвольное натуральное число. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число , такое, что
.

Позже будет доказана следующая теорема, которую мы пока примем без доказательства.

Теорема. (О существовании и количестве корней n-й степени из комплексного числа.)

Существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа.

Для обозначения корней n-й степени из комплексного числа применяют обычный знак радикала. Но есть одно существенное отличие. Если а – положительное действительное число, то
по определению обозначает положительный корень n-й степени, его называют арифметическим корнем.

Если n – нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого действительного числа а. При
этот единственный корень
является по определению арифметическим, при
этот единственный корень
не является арифметическим, но может быть выражен через арифметический корень из противоположного числа:
, где
является арифметическим, т.к.
.

Опр. Системой компл-х чисел наз-ся мин-ое поле, которое яв-ся расширением поля действительных чисел и в котором есть элемент i (i 2 -1=0)

Опр. Алгебра <ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i> наз-ся сис-ой комп-х чисел, если вып-ся следующие условия (аксиомы):

1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m

2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)

3. a,b∊ℂa+b=b+a

4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a

5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0

6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n

7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)

8. a,b∊ℂa∙b=b∙a

9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a

10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1

11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc

12. -поле действ. чисел

13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b

14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0

15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ и (α∙β)∊ℳ}⇒ℳ=ℂ

Св-ва ℂ чисел:

1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i

2. Поле комп-х чисел нельзя линейно упорядочить т.е. α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-невозможно.

3. Основная теорема алгебры: Поле ℂ чисел алгебраически замкнуто, то есть любой мн-н полож. степени над полем ℂ чисел имеет хотя бы один компл. корень

След-е из осн. теоремы алг.: Любой мн-н полож. степени над полем комплексных чисел можно разл-ть на произведение … первой степени с положительным коэффициентом.

След-е: любое квад-е ур-е имеет 2-а корня: 1) D>0 2-а разл. действ. корня 2)D=0 2-а деств. совп-х корня 3)D<0 2-а компл-х корня.

4. Аксиом. теория комплексных чисел категорична и непротиворечива

Методика.

В общеобразовательных классах не рассматривается понятие комплексного числа, ограничиваются лишь изучением действительных чисел. Но в старших классах школьники уже обладают достаточно зрелым математическим образованием и в состоянии понимать необходимость расширения понятия о числе. С точки зрения общего развития, знания о комплексных числах находят применение в естественных науках и технике, что немаловажно для школьника в процессе выбора будущей профессии. Авторы некоторых учебников включают изучение данной темы как обязательной в свои учебники по алгебре и началам математического анализа для профильных уровней, что предусмотрено государственным стандартом.

С методической точки зрения тема “Комплексные числа” развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.

Однако даже в старших классах у многих школьников плохо развито абстрактное мышление, или очень сложно представить себе «мнимую, воображаемую» единицу, понять различия между координатной и комплексной плоскостью. Или же наоборот, школьник оперирует абстрактными понятиями в отрыве от их реального содержания.

После изучения темы “Комплексные числа” ученики должны иметь четкое представление о комплексных числах, знать алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Учащиеся должны уметь производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечения корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую, иметь представление о геометрической модели комплексных чисел

В учебнике для математических классов Н.Я.Виленкина, О.С.Ивашева-Мусатова, С.И.Шварцбурда «Алгебра и начала математического анализа», тема «Комплексные числа» вводится в 11 классе. Изучение темы предлагается во втором полугодии 11 класса после того, как в 10 классе был изучен раздел тригонометрии, а в 11 - интеграл и дифференциальные уравнения, показательная, логарифмическая и степенная функции, многочлены. В учебнике тема «Комплексные числа и операции над ними» разбита на два параграфа: Комплексные числа в алгебраической форме; Тригонометрическая форма комплексных чисел. Рассмотрение темы «Комплексные числа и операции над ними» начинается с рассмотрения вопроса о решении квадратных уравнений, уравнений третьей и четвертой степени и, как следствие, выявляется необходимость введения «нового числа i». Сразу же даются понятия комплексных чисел и действий над ними: нахождение суммы, произведения и частного комплексных чисел. Далее дается строгое определение понятия комплексного числа, свойства операций сложения и умножения, вычитания и деления. В следующем пункте говорится о сопряженных комплексных числах и некоторых их свойствах. Далее рассматривается вопрос об извлечении квадратных корней из комплексных чисел и решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами. В следующем параграфе рассматриваются: геометрическое изображение комплексных чисел; полярная система координат и тригонометрическая форма комплексных чисел; умножение, возведение в степень и деление комплексных чисел в тригонометрической форме; формула Муавра, применение комплексных чисел к доказательству тригонометрических тождеств; извлечение корня из комплексного числа; основная теорема алгебры многочленов; комплексные числа и геометрические преобразования, функции комплексного переменного.

В учебнике С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина «Алгебра и начала математического анализа», тема «Комплексные числа рассматривается в 11 классе после изучения всех тем, т.е. в конце школьного курса алгебры. Тема разделена на три параграфа: Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел; Тригонометрическая форма комплексных чисел; Корни многочленов, показательная форма комплексных чисел. Содержание параграфов достаточно объемное, содержится много понятий, определений, теорем. В параграфе «Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел» содержится три раздела: алгебраическая форма комплексного числа; сопряженные комплексные числа; геометрическая интерпретация комплексного числа. Параграф «Тригонометрическая форма комплексного числа» содержит определения и понятия необходимые для введения понятия тригонометрической формы комплексного числа, а также алгоритм перехода от алгебраической формы записи к тригонометрической форме записи комплексного числа. В последнем параграфе «Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел» содержится три раздела: корни из комплексных чисел и их свойства; корни многочленов; показательная форма комплексного числа.

Материал учебника представлен в небольшом объеме, но вполне достаточном для понимания учащимися сути комплексных чисел и овладением минимальных знаний о них. В учебнике небольшое количество упражнений и не рассматривается вопрос о возведении комплексного числа в степень и формула Муавра

В учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала математического анализа», профильный уровень, 10 класс тема «Комплексные числа» вводится во втором полугодии 10 класса сразу после изучения тем «Действительные числа» и «Тригонометрия». Такое размещение не случайно: и числовая окружность, и формулы тригонометрии находят активное применение при изучении тригонометрической формы комплексного числа, формулы Муавра, при извлечении из комплексного числа квадратного и кубического корней. Тема «Комплексные числа» представлена в 6-ой главе и разбита на 5 параграфов: комплексные числа и арифметические операции над ними; комплексные числа и координатная плоскость; тригонометрическая форма записи комплексного числа; комплексные числа и квадратные уравнения; возведение комплексного числа в степень, извлечение кубического корня из комплексного числа.

Понятие комплексного числа вводится как расширение понятия о числе и невозможности выполнения некоторых действий в действительных числах. В учебнике представлена таблица с основными числовыми множествами и операциями, допустимыми в них. Перечисляются минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа, и затем вводится понятие мнимой единицы, определение комплексного числа, равенство комплексных чисел, их сумма, разность, произведение и частное.

От геометрической модели множества действительных чисел переходят к геометрической модели множества комплексных чисел. Рассмотрение темы «Тригонометрическая форма записи комплексного числа» начинается с определения и свойств модуля комплексного числа. Далее рассматривается тригонометрическая форма записи комплексного числа, определение аргумента комплексного числа и стандартная тригонометрическая форма комплексного числа.

Далее изучается извлечение квадратного корня из комплексного числа, решение квадратных уравнений. И в последнем параграфе вводится формула Муавра и выводится алгоритм извлечения кубического корня из комплексного числа.

Также в рассматриваемом учебнике в каждом параграфе параллельно с теоретической частью рассматривается несколько примеров, иллюстрирующих теорию и дающих более осмысленное восприятие темы. Приведены краткие исторические факты.

Аксиомы поля. Поле комплексных чисел. Тригонометрическая запись комплексного числа.

Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица . Число называется действительной частью ( ) комплексного числа , число называется мнимой частью ( ) комплексного числа .

Множество жекомплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости :

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
– действительная ось (x)
– мнимая ось (y)

Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел

Действия с комплексными числами

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части

Вычитание комплексных чисел

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака

Умножение комплексных чисел

раскрыть скобки по правилу умножения многочленов

Деление комплексных чисел

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение .

Комплексные числа обладают многими свойствами, присущими действительным числам, из коих мы отметим следующие, называемые основными .

1) (a + b ) + c = a + (b + c ) (ассоциативность сложения );

2) a + b = b + a (коммутативность сложения );

3) a + 0 = 0 + a = a (существование нейтрального элемента по сложению );

4) a + (−a ) = (−a ) + a = 0 (существование противоположного элемента );

5) a (b + c ) = ab + ac ();

6) (a + b )c = ac + bc (дистрибутивность умножения относительно сложения );

7) (ab )c = a (bc ) (ассоциативность умножения );

8) ab = ba (коммутативность умножения );

9) a ∙1 = 1∙a = a (существование нейтрального элемента по умножению );

10) для любого a ≠ 0 существует такое b , что ab = ba = 1 (существование обрат­ного элемента );

11) 0 ≠ 1 (без названия).

Множество объектов произвольной природы, на котором определены операции сложения и умножения, обладающие указанными 11 свойствами (которые в данном случае являются аксиомами), называется полем .

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен имеет корень

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
, где – это модуль комплексного числа , а – аргумент комплексного числа .

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».

Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или

Пусть и φ = arg z . Тогда по определению аргумента имеем:

Кольцо матриц над полем действительных чисел. Основные операции над матрицами. Свойства операций.

Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a ij , где i- номер строки, а j- номер столбца.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной .

Определение. Матрица вида:

= E ,

называется единичной матрицей .

Определение. Если a mn = a nm , то матрица называется симметрической .

Пример. - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы на число (обозначение: ) заключается в построении матрицы , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы на это число, то есть каждый элемент матрицы равен

Свойства умножения матриц на число:

· 1. 1A = A ;

· 2. (λβ)A = λ(βA)

· 3. (λ+β)A = λA + βA

· 4. λ(A+B) = λA + λB

Сложение матриц

Сложение матриц есть операция нахождения матрицы , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц и , то есть каждый элемент матрицы равен

Свойства сложения матриц:

· 1.коммутативность: A+B = B+A ;

· 2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C) ;

· 3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A ;

· 4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ ;

Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров m xn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образует линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства). Впрочем, прежде всего во избежание терминологической путаницы, матрицы в обычных контекстах избегают без необходимости (которой нет в наиболее обычных стандартных применениях) и четкого уточнения употребления термина называть векторами.

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: , реже со знаком умножения ) - есть операция вычисления матрицы , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице , иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей . Если матрица имеет размерность , - , то размерность их произведения есть .

Свойства умножения матриц:

· 1.ассоциативность (AB)C = A(BC) ;

· 2.некоммутативность (в общем случае): AB BA ;

· 3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA ;

· 4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC , A(B+C) = AB + AC ;

· 5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB) ;

Транспонирование матрицы .

Нахождение обратной матрицы .

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Теорема о ранге матрицы

Ранг матрицы А - максимальный порядок неравного нулю минора

Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие БМ, назвыаются базисными строками и столбцами.

Обозначения: r(A), R(A), Rang A.

Замечание. Очевидно, что значение ранга матрицы не может превышать меньшей из ее размерностей.

Для любой матрицы ее минорный, строчный и столбцевой ранги совпадают .

Доказательство . Пусть минорный ранг матрицы A равен r . Покажем, что строчный ранг тоже равен r . Для этого можно считать, что обратимый минор M порядка r находится в первых r строках матрицы A . Отсюда следует, что первые r строк матрицы A линейно независимы и набор строк минора M линейно независим. Пусть a -- строка длины r , составленная из элементов i -ой строки матрицы , которые расположены в тех же столбцах, что и минор M . Так как строки минора M составляют базу в k r , то a -- линейная комбинация строк минора M . Вычтем из i -ой строки A такую же линейную комбинацию первых r строк матрицы A . Если получится строка, содержащая ненулевой элемент в столбце с номером t , то рассмотрим минор M 1 порядка r +1 матрицы A , добавив к строкам минора -ю строку матрицы A и к столбцам минора -ый столбец матрицы A (говорят, что минор M 1 получен окаймлением минора M с помощью i -ой строки и t -го столбца матрицы A ). По нашему выбору t , этот минор обратим (достаточно вычесть из последней строки этого минора выбранную выше линейную комбинацию первых r строк, а затем разложить его определитель по последней строке, чтобы убедиться, что этот определитель с точностью до ненулевого скалярного множителя совпадает с определителем минора M . По определению r такая ситуация невозможна и, значит, после преобразования i -я строка A станет нулевой. Другими словами, исходная i -я строка -- линейная комбинация первых r строк матрицыA . Мы показали, что первые r строк составляют базу набора строк матрицы A , то есть строчный ранг A равен r . Чтобы доказать, что столбцевой ранг равен r , достаточно в приведенном выше рассуждении "строки" и "столбцы" поменять местами. Теорема доказана.

Эта теорема показывает, что нет смысла различать три ранга матрицы, и в дальнейшем под рангом матрицы мы будем понимать строчный ранг, помня о том, что он равен и столбцевому, и минорному рангу (обозначение r (A ) -- ранг матрицы A ). Заметим еще, что из доказательства теоремы о ранге следует, что ранг матрицы совпадает с размерностью любого такого обратимого минора матрицы, что все окаймляющие его миноры (если они вообще существуют) вырождены.

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

Следствия

· Количество главных переменных системы равно рангу системы.

· Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Теорема о базисном миноре.

Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

7. Решение СЛУ. Метод Крамера, матричный метод, метод Гауса.

Метод Крамера.

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. (Правило Крамера):

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x i = D i /D, где

D = det A, а D i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b i .

D i =

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

Систему уравнений можно записать: A×X = B.

Сделаем следующее преобразование: A -1 ×A×X = A -1 ×B, т.к. А -1 ×А = Е, то Е×Х = А -1 ×В

Х = А -1 ×В

Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

, (1)

где a ij – коэффициенты, а b i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной . Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной .

Определение. Система называется определенной , если она имеет только одно решение и неопределенной , если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А * =
называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b 1 , b 2 , …,b m = 0, то система называется однородной . однородная система всегда совместна.

Элементарные преобразования систем.

К элементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Ме́тод Га́усса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица называется основной матрицей системы, - столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

Тогда переменные называются главными переменными . Все остальные называются свободными .

Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть для любых .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом ( , где - номер строки):

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Следствия:
1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой.

2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

Алгоритм

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Векторы. Основные понятия. Скалярное произведение, его свойства.

Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Векторы называются коллинеарными , если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Векторы называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор -

Произведение - , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором ( ­­ ), если a > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором ( ­¯ ), если a < 0.

Свойства векторов.

1) + = + - коммутативность.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b ) – ассоциативность

6) (a+b) = a + b - дистрибутивность

7) a( + ) = a + a

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Если - базис в пространстве и , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.

В связи с этим можно записать следующие свойства :

равные векторы имеют одинаковые координаты,

при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

;
;

Линейная зависимость векторов.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми , если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно a i , т.е. .

Если же только при a i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), то .

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m , то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x 1 + x 2)/2; y = (y 1 + y 2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.

Линейные операции над векторами в координатах.

Поворот осей координат

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система O 1 x 1 y 1 получена поворотом системы Оху на угол α.

Пусть Μ произвольная точка плоскости, (х;у) - ее координаты в старой системе и (х";у") - в новой системе.

Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Οx 1 (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны α + j и φ, где φ - полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

Но rcosj = х" и rsinφ = у". Поэтому

Полученные формулы называются формулами поворота осей . Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки Μ через новые координаты (х";у") этой же точки М, и наоборот.

Если новая система координат O 1 x 1 y 1 получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол α (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы легко получить формулы

выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее новые координаты х" и у".

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из

которых до двух данных точек постоянна. Эти точки называются фокусами и

обозначаются F1 и F2 , расстояние между ними 2с, а сумма расстояний от каждой точки до

фокусов – 2а (по условию 2а>2с ). Построим декартову систему координат, так, чтобы F1 и F2 были на оси абсцисс, а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2 . Выведем уравнение эллипса. Для этого рассмотрим произвольную точку M(x, y) эллипса. По определению: | F1M |+| F2M |=2a. F1M ={x+c; y}; F2M ={x-c; y}.

|F1M|= (x + c )2 + y 2 ; |F2M| = (x - c )2 + y 2

(x + c )2 + y 2 + (x - c )2 + y 2 =2a (5)

x2+2cx+c2+y2=4a2-4a (x - c )2 + y 2 +x2-2cx+c2+y2

4cx-4a2=4a (x - c )2 + y 2

a2-cx=a (x - c )2 + y 2

a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)

так как 2a>2c (сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны), то a2-c2>0.

Пусть a2-c2=b2

Точки с координатами (a, 0), (−a, 0), (b, 0) и (−b, 0) называются вершинами эллипса, величина a - большой полуосью эллипса, а величина b - его малой полуосью. Точки F1(c, 0) и F2(−c, 0) называются фокусами

эллипса, причем фокус F1 называется правым, а фокус F2 - левым. Если точка M принадлежит эллипсу, то расстояния |F1M| и |F2M| называются фокальными радиусами и обозначаются соответственно через r1 и r2. Величина e =c/a называется эксцентриситетом эллипса. Прямые с уравнениями x =a/e

и x = −a/e называются директрисами эллипса (при e = 0 директрис эллипса не существует).

Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, у и z:

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например , перепишем уравнение (12.4) в виде

Понятие комплексного числа, прежде всего, связано с уравнением . Не существует действительных чисел, которые удовлетворяли бы этому уравнению.

Таким образом, комплексные числа возникли как обобщение (расширение) поля действительных чисел при попытках решать произвольные квадратные (и более общие) уравнения путем присоединения к нему новых чисел так, чтобы расширенное множество образовывало числовое поле, в котором всегда было бы выполнимо действие извлечения корня.

Определение. Число, квадрат которого равен - 1, принято обозначать буквой i и называть мнимой единицей.

Определение . Полем комплексных чисел С называется минимальное расширение поля действительных чисел, содержащее корень уравнения .

Определение . Поле С называется полем комплексных чисел , если оно удовлетворяет следующим условиям:

Теорема. (О существовании и единственности поля комплексных чисел). Существует единственное с точностью до обозначения корня уравнения поле комплексных чисел С .

Каждый элемент можно однозначно представить в следующем виде:

где , – корень уравнения i 2 +1=0.

Определение . Любой элемент называется комплексным числом , действительное число x называется действительной частью числа z и обозначается , действительное число y называетсямнимой частью числа z и обозначается .

Таким образом, комплексное число представляет собой упорядоченную пару, комплекс, составленный из действительных чисел x и y .

Если х =0, то число z= 0+iy=iy называется чисто мнимым или мнимым. Если y =0, то число z =x+ 0i=х отождествляется с действительным числом х.

Два комплексных числа и считаются равными, если равны их действительные и мнимые части:

Комплексное число равно нулю, когда равны нулю его действительная и мнимая части:

Определение . Два комплексных числа, имеющих одну и ту же действительную часть, мнимые части которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку, называются комплексно–сопряженными или просто сопряженными .

Число,сопряженное числу z , обозначается . Таким образом, если , то .

1.3. Модуль и аргумент комплексного числа.
Геометрическое изображение комплексных чисел

Геометрически комплексное число изображается на плоскости (рис. 1) как точка М с координатами (x , y ).

Определение . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С , оси Ох и Оу, на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа , называются действительной и мнимой осями соответственно.

Положение точки можно определить также с помощью полярных координат r и φ , т.е. с помощью длины радиуса–вектора и величины угла наклона радиуса–вектора точки М (x, y ) к положительной действительной полуоси Ох .

Определение . Модулем комплексного числа называется длина вектора , изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости.

Модуль комплексного числа обозначается или буквой r и равен арифметическому значению корня квадратного из суммы квадратов его действительной и мнимой частей.