«Основные свойства логарифмов» - Тождество. Подбрасывание кубика. Логарифмическая шкала и её применение. Основные понятия теории вероятности. Основное свойство логарифма Непера. Фракталы и размерность. Логарифмическая шкала. Психология и физиология. Логарифм. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. Свойства логарифмов.

«Натуральный логарифм» - Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми y=0, x=1, x=e и гиперболой. Функция вида y=lnx, свойства и график. Десятичные логарифмы для наших потребностей являются весьма удобными. Натуральные логарифмы. «Логарифмический дартс». Составить уравнение касательной к графику функции y=lnx в точке x=e.

«Урок Логарифмы» - Достигли ли вы поставленной цели? Ход урока. Таблица ответов: Большему числу соответствует больший логарифм. Таблица кодов: Логарифмическая диковинка. Общее решение. Компьютерная самостоятельная работа. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени. Дайте определение логарифма. Электронный тест.

«Выражения с логарифмами» - Удовлетворяет всем условиям системы. Астрономы. Определение логарифма. Громкость шума. Звезды, шум и логарифмы. Громкость. Шум и звезды. Всё о логарифмах. Построение графиков. Основные методы решения уравнений. Методы решения неравенств. Функция. Логарифмы на ЕГЭ. Мини-экзамен. Решите неравенство. Музыка и логарифмы.

«Логарифмические функции» - Свойства логарифмов. Логарифмическая функция. Понятие логарифма. В зависимости от значения основания приняты два обозначения. Решение логарифмических уравнений. Логарифм степени. Графики логарифмических функций. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. Свойства натуральных логарифмов.

«Свойства логарифмов» - 5. Почему не имеют смысла выражения log15 ; log-381 ? Основное логарифмическое тождество. 3. Сформулируйте основные свойства логарифмов и вычислите: log618 + log62 ; log553 ; log318 – log32 ; log2 lg4 + lg25 ; Если a>0 и a ?1, х > 0, у > 0, р? R, то: Иоганн Генрих Песталоцци. Счет и вычисления – основа порядка в голове.

Всего в теме 14 презентаций

Цель :научиться преобразовывать алгебраические выражения с помощью логарифмирования и потенцирования.

Место проведения : учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Средства обучения :

Виды самостоятельной работы :

Логарифмирование алгебраического выражения с целью выражения данного логарифма через другие логарифмы по тому же самому основанию;

Логарифмирование выражения по данному основанию;

Нахождение числа по данному его логарифму;

Решение уравнения.

Краткая теоретическая справка

Если некоторое выражение A составлено из положительных чисел x , y , z c помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить через логарифмы чисел x , y , z . Такое преобразование называют логарифмированием .

Пример 1. Известно, что положительные числа x , y , z, t а чисел y , z, t .

Решение: 1) Логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя:

2) Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей: .

3) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени: ; .

4) В итоге получаем:

Преобразование, заключающееся в нахождении выражения, логарифм которого представлен через логарифмы некоторых чисел, называют потенцированием .

При выполнении данного преобразования используется следующее утверждение.

Теорема . Равенство, где справедливо тогда и только тогда, когда.

Пример 2. Известно, что. Выразить x через y , z, t .

Решение: Согласно свойству логарифма степени имеем:

Итак, и, следовательно, .

Практические задания для аудиторной работы

x , a ,b и с связаны соотношением. Выразить через логарифмы по основанию n чисел a, b, с .

2. Прологарифмируйте по основанию 3:

3. Найдите число х по данному его логарифму:

4. Решите уравнение:

Практические задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Известно, что положительные числа y , a ,b связаны соотношением. Выразить через логарифмы по основанию c чисел a и b .

3. Найдите число х по данному его логарифму:

4. Решите уравнение:

Вариант 2

1. Известно, что положительные числа x , a ,b и с связаны соотношением. Выразить через логарифмы по основанию n чисел a, b, с .

3. Найдите число х по данному его логарифму:

4. Решите уравнение:

Вариант 3

1. Известно, что положительные числа y , a ,b связаны соотношением. Выразить через логарифмы по основанию с чисел a и b .

2. Прологарифмируйте по основанию 2:

3. Найдите число х по данному его логарифму:

4. Решите уравнение:

Вариант 4

1. Известно, что положительные числа x , a ,b и с связаны соотношением. Выразить через логарифмы по основанию n чисел a, b, с .

2. Прологарифмируйте по основанию 5:

3. Найдите число х по данному его логарифму:

4. Решите уравнение:

Требования к отчёту:

1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.

2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:

Порядковый номер и наименование практической работы;

Цель практической работы;

Ход выполнения работы;

Ответы на контрольные вопросы;

Вывод о выполненном задании.

Контрольные вопросы

1. Что называют логарифмом числа?

2. Что называют логарифмированием выражения?

3. Какое преобразование называют потенцированием?

4. Какое утверждение используется при потенцировании?

5. Как можно преобразовать сумму двух логарифмов по одному и тому же основанию?

Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Пояснительная записка перечень практических работ практические работы действия с рациональными числами

Практическая работа действия с рациональными числами место проведения учебная аудитория.. практическая работа решение рациональных.. практическая работа решение рациональных уравнений неравенств систем уравнений и..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Пояснительная записка
Учебная дисциплина «Математика» является естественнонаучной дисциплиной, обеспечивающей общеобразовательный уровень подготовки специалиста. Методические рекомендации по проведению

Перечень практических работ
№ п/п Наименование практической работы (тема) Количество аудиторных работ

Действия с рациональными числами
Цель:повторить решение арифметических примеров на все действия с рациональными числами. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Решение рациональных уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств первой степени

Решение рациональных уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств второй степени
Цель:обобщить и закрепить ранее пройденный материал по решению рациональных уравнений, неравенств и их систем. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электром

Практические приёмы приближённых вычислений
Цель:научиться вычислять абсолютные и относительные погрешности приближений, находить границы погрешностей; выполнять действия над приближенными числами с учетом и без учета границ погрешнос

Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических выражений, содержащих степени с рациональными показателями
Цель:научиться применять свойства степени для преобразования степенных выражений. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических
выражений, содержащих корни n-ой степени () Цель:научиться выполнять преобразования и находить значения выражений, содержащих корни n-й степени.

Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических выражений, содержащих степени и корни
Цель:научиться применять свойства степени и корня для преобразования алгебраических выражений. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техн

Вычисление логарифма числа
Цель:научиться находить логарифм числа, применять свойства логарифмов для преобразования алгебраических выражений. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский элек

С произвольным основанием
Цель:научиться вычислять логарифмы чисел с произвольным основанием через десятичные и натуральные логарифмы с помощью специальных таблиц логарифмов или микрокалькуляторов. Место

Уравнения
Цель:научиться выполнять преобразования показательных и логарифмических выражений, решать простейшие показательные и логарифмические уравнения. Место проведения: учебная ауди

Единичной числовой окружности
Цель:научиться решать простейшие тригонометрические уравнения с помощью единичной числовой окружности. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханичес

Практические приёмы вычисления значений синуса, косинуса и тангенса произвольного числового аргумента
Цель:приобрести практические навыки вычисления значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного числового аргумента с помощью четырехзначных математических таблиц В.М. Брадиса

С использованием основных тригонометрических тождеств
Цель:научиться выполнять преобразования тригонометрических выражений с применением основных тригонометрических тождеств. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курски

Формул сложения и формул двойного аргумента
Цель:научиться выполнять преобразования тригонометрических выражений с применением формул сложения и формул двойного аргумента. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО

Основные методы решения тригонометрических уравнений
Цель:научиться решать простейшие тригонометрические уравнения, тригонометрические уравнения путем введения новой переменной и разложения на множители, однородные тригонометрические уравнения

Нахождение области определения функции. Вычисление значения функции в заданной точке. Построение графиков функций
Цель:научиться находить область определения функций, заданных аналитически; вычислять значения функций и выполнять построения графиков функций. Место проведения: учебная ауди

Степенные функции, их свойства и графики
Цель:научиться строить графики степенных функций, описывать их свойства, решать уравнения и неравенства функционально-графическим методом. Место проведения: учебная аудитория

Показательные функции, их свойства и графики
Цель:научиться строить графики показательных функций, описывать их свойства; решать показательные уравнения и неравенства функционально-графическим методом. Место проведения:

Логарифмические функции, их свойства и графики
Цель:научиться строить графики логарифмических функций, описывать их свойства, решать показательные уравнения функционально-графическим методом. Место проведения: учебная ауд

Их свойства и графики
Цель: научиться строить графики тригонометрических функций y=sin x и y= cos x, описывать их свойства, решать уравнения функционально-графическим методом. Место пров

Тригонометрические функции y=tgx, y=ctgx, их свойства и графики
Цель: научиться строить графики тригонометрических функций y=tg x и y= ctg x, описывать их свойства, решать уравнения функционально-графическим методом. Место прове

Систем уравнений
Цель: научиться решать иррациональные уравнения и неравенства, системы иррациональных уравнений. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический те

Основные приёмы решения показательных уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств
Цель: научиться решать показательные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техни

Основные приёмы решения логарифмических уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств
Цель: научиться решать логарифмические уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический тех

Неравенств, систем уравнений
Цель: научиться решать тригонометрические уравнения и неравенства, системы уравнений. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».

Решение неравенств методом интервалов
Цель: научиться решать неравенства методом интервалов. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум». Средства обуч

Геометрическая интерпретация множества решений
Цель: научиться решать уравнения, неравенства, их системы с двумя переменными, геометрически изображать их решение. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский эле

Решение задач прикладного характера, сводящихся к составлению уравнений, неравенств и их систем
Цель: научиться решать задачи, сводящиеся к составлению уравнений, неравенств и их систем. Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум

Критерии оценок практических работ
Отметка Качество выполнения практических заданий Задания выполнены полностью и правильно: правильно выбран способ решени

Перечень литературы
Основная литература: 1. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика: Учебное пособие: В 2 кн. Кн. 1. – М.: «Издательство Новая Волна», 2004. 2. Колягин Ю

«Уравнения по алгебре» - Домашнее задание. Д е т и. Целеполагание. О-оох… Структура урока: Организационный момент. Цель: Актуализация опорных знаний. . Отработка умений и навыков. Алгебра 7 класс. Рефлексия, итог урока.

«Решение логарифмических уравнений» - Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то прежде всего следует свести все логарифмы к одному основанию, используя формулы перехода. Решение простейшего логарифмического уравнения основано на применении определения логарифма и решении равносильного уравнения. Обобщить материал по свойствам логарифмов, логарифмической функции; рассмотреть основные методы решения логарифмических уравнений; развивать навыки устной работы.

«Решение дробно-рациональных уравнений» - 3) 4 и 3. Дать определение целого уравнения. Не рассчитывай на завтра, Помни: все в твоих руках. 2) 3. Как решить дробно рациональное уравнение? 1) 0 и 1. Какое уравнение называют дробным рациональным? Наш девиз: Торопись, ведь дни проходят, Ты у времени в гостях. Решение дробных рациональных уравнений.

«Решение систем уравнений» - Х+2у =3 5х-3у= 2. 6х +у = 18 6х = 18 –у |: 6 х= 3 – 1/6у у = 18 – 6х. Проверьте себя! Графический метод Решите графически {. Проверь себя! Алгоритм решения. Решить систему: {. 4х +2у =20 4х =20 - 2у | : 4 х=5 – 0,5 у 2у = 20 – 4х| : 2 у = 10 – 2х. Сложение и вычитание одночленов. Методы решения систем уравнений.

«Урок Логарифмические уравнения» - ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (5 итоговый урок). 1.logx5 = 1 2.logx(x2-1) = 0 3.log5(2x+1) = log5(x+2). Найдите область допустимых значений уравнений. x > 0 a > 0 a ? 1. logax = b.

«Тригонометрические уравнения» - Тригонометрические уравнения. Введём новую переменную t = sinx. Решение. Верно ли, что: Пример 1. Решить уравнение 2 sin2x + sinx - 1 = 0. Cледовательно, sinx = 1/2 или sinx = -1. Имеют ли смысл выражения: Тогда данное уравнение примет вид 2t2 + t - 1 = 0. Решить уравнение:

Всего в теме 49 презентаций

Урок 19

ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ

Цели :

дидактическая :

повторение, систематизация и обобщение знаний;

закрепление умений решать практические задачи по теме;

воспитательная :

воспитывать самостоятельность формирования умозаключений; воспитывать общие компетенции - работать в коллективе и в команде;

развивающая :

развитие логического мышления алгоритмической культуры;

развитие умения доказывать свои умозаключения, анализировать ответы друг друга;

продолжить формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию.

Тип урока : комбинированный урок

Методическое обеспечение : учебники, план-конспект урока, карточки.

Ход урока:

1. Организационный момент

Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.

Приветствие обучающихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала. Сообщается тема и цель урока.

2. Повторение ранее изученного материала

3. Изучение нового материала

ПОВТОРЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

1. Проверка домашнего задания, работа у доски над затруднительными моментами.

2. Дайте определение понятию логарифм.

Логарифм числа b по основанию а – это показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

3. Приведите пример записи логарифма. Что означает эта запись?

3. Для того, чтобы проверить уровень усвоения материала, предлагается решить некоторые задания. На доске таблица, которую необходимо заполнить, указав решение примера и номер свойства из ранее записанного конспекта урока.

Пример

Решение. Ответ

Номер свойства

5, 1

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Логарифмирование – это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.

Пример : Найдем логарифм

Решение .

Последовательно воспользуемся сразу всеми тремя основными свойствами логарифмов, которые изложены выше (логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени):

Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных.

Необходимо четко различать сумму логарифмов lga + lgb и логарифм суммы lg ( a + b ) . Сумма логарифмов равна логарифму произведения, а для логарифма суммы формулы нет.

Пример . Дано, где a >0, b >0, c >0. Найти lg x .

Решение . Логарифмируя, получим:

Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию.

Потенцировать – значит освобождаться от знаков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.

При решении уравнений потенцированием выражения преобразовывают с помощью свойств логарифмов, приводя их к виду

либо к виду

Например , надо решить уравнение log 2 3x = log 2 9.

Убираем знаки логарифмов – то есть потенцируем:

3х = 9.

В результате получаем простое уравнение, которое решается за несколько секунд:

х = 9: 3 = 3.

Но потенцирование не сводится к простому и произвольному убиранию значков логарифмов. Для этого в обоих частях уравнения как минимум должно быть одинаковое значение основания (в нашем случае это основание 2).

Потенциирование применяется при решении логарифмических уравнений, с которыми мы познакомимся на следующем занятии.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Группа разбивается на подгруппы по два-три человека. Каждая подгруппа составляет один пример для логарифмирования, передает его соседней подгруппе для решения. После чего подгруппы решают пример и передают его следующей подгруппе для решения. В итоге каждая подгруппа должна выставить оценку своим одногруппникам, решившим составленное выражение.

ДОМАШНЯЯ РАБОТА

Прологорифмируйте выражение по основанию 10 при условии, что все переменные положительные:

Выполните потенцирование выражения:

Число c {\displaystyle c} называется n -й степенью числа a {\displaystyle a} , если

c = a ⋅ a ⋅ . . . ⋅ a ⏟ n {\displaystyle c=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{n}} .

Свойства:

1. (a b) n = a n b n {\displaystyle \left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}}
2. (a b) n = a n b n {\displaystyle \left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}}
3. a n a m = a n + m {\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m}}
4. a n a m = a n − m {\displaystyle \left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{n-m}}
5. (a n) m = a n m {\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}
6. запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности (a n) m ≠ a (n m) {\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}} , результат будет зависеть от последовательности действий, например, (2 2) 3 = 4 3 = 64 {\displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64} , а 2 (2 3) = 2 8 = 256 {\displaystyle 2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256} . Принято считать запись a n m {\displaystyle a^{n^{m}}} равнозначной a (n m) {\displaystyle a^{\left({n^{m}}\right)}} , а вместо (a n) m {\displaystyle (a^{n})^{m}} можно писать просто a n m {\displaystyle a^{nm}} , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения (см. );
7. возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности) : вообще говоря, a b ≠ b a {\displaystyle a^{b}\neq b^{a}} , например, 2 5 = 32 {\displaystyle 2^{5}=32} , но 5 2 = 25 {\displaystyle 5^{2}=25} .

Вещественная степень

Пусть a ⩾ 0 , r {\displaystyle a\geqslant 0,r} - вещественные числа, причём r {\displaystyle r} - иррациональное число . Определим значение следующим образом.

Как известно, любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для r {\displaystyle r} рациональный интервал [ p , q ] {\displaystyle } с любой степенью точности. Тогда общая часть всех соответствующих интервалов [ a p , a q ] {\displaystyle } состоит из одной точки, которая и принимается за a r {\displaystyle a^{r}} .

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов (см. ).

Потенцирование

a b = (r e θ i) b = (e Ln ⁡ (r) + θ i) b = e (Ln ⁡ (r) + θ i) b . {\displaystyle a^{b}=(re^{{\theta }i})^{b}=(e^{\operatorname {Ln} (r)+{\theta }i})^{b}=e^{(\operatorname {Ln} (r)+{\theta }i)b}.}

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм - многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Ноль в степени ноль

Выражение 0 0 {\displaystyle 0^{0}} (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:

e x = 1 + ∑ n = 1 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}}

можно записать короче:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}.}

В любом случае соглашение 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

Степень как функция

Поскольку в выражении используются два символа ( x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций:

Полезные формулы

x y = a y log a ⁡ x {\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x}} x y = e y ln ⁡ x {\displaystyle x^{y}=e^{y\ln x}} x y = 10 y lg ⁡ x {\displaystyle x^{y}=10^{y\lg x}}

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции x y {\displaystyle x^{y}} , и для приближенного возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Употребление в устной речи

Запись a n {\displaystyle a^{n}} обычно читается как «a в n {\displaystyle n} -ой степени» или «a в степени n ». Например, 10 4 {\displaystyle 10^{4}} читается как «десять в четвёртой степени», 10 3 / 2 {\displaystyle 10^{3/2}} читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, 10 2 {\displaystyle 10^{2}} читается как «десять в квадрате», 10 3 {\displaystyle 10^{3}} читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики . Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры (англ.) русск. . В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда : вместо a 2 {\displaystyle a^{2}} , a 3 {\displaystyle \ a^{3}} древние греки говорили «квадрат на отрезке a », «куб на a ». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали .